Question

如圖，半圓形公園上有P和Q兩點，線段AB是該半圓的一條直徑，C為圓心，半徑是2km，現要在公園內建一塊頂點都在半圓C上的多邊形活動場地為等腰梯形ABPQ．
（1）若設PQ=2x（km），求場地面積S關于x的函數關系式；
（2）若設∠PCB=θ，求場地面積S關于θ的函數關系式；
（3）選擇（1）、（2）中的一個函數的關系式，求場地面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據已知中半圓的半徑是2km，PQ=2x，我們可以計算出梯形的高，即PQ到AB的距離，然后將上底長，下底長和高代入梯形面積公式，即可得到場地面積S關于x的函數關系式；
（2）根據∠PCB=θ半圓的半徑是2km，我們可以計算出梯形的高，及上底的長度，然后將上底長，下底長和高代入梯形面積公式，即可得到場地面積S關于θ的函數關系式
（3）分別求出（1）、（2）結論中兩個函數的導數，分析出函數取最大值時自變量的值，代入即可得到面積的最大值．

解答：解：（1）半圓的半徑是2km，又由PQ=2x
則PQ到AB的距離為

4-x2

代入梯形面積公式，即可得到
場地面積S關于x的函數關系式為：S=(x+2)

4-x2

，x∈(0，2)．
（2）若∠PCB=θ，則梯形的高為2sinθ，上底長為2cosθ
代入梯形面積公式，即可得到
場地面積S關于θ的函數關系式為：S=4sinθ+2sin2θ，θ∈(0，

π

2

)．
（3）若選用（1），則S′=

-2(x-1)(x+2)

4-x2

，x∈(0，2)，通過列表，觀察得：當x=1時，Smax=3

3

(km2)；
若選用（2），則S'=4cosθ+4cos2θ=4（2cos²θ+cosθ-1）=4（cosθ+1）（2cosθ-1），通過列表，觀察得：當θ=

π

3

時，Smax=3

3

(km2)．

點評：本題考查的知識點是已知三角形模型的應用問題．由于場地為一個梯形，故求出梯形的上下底邊的長及梯形的高，是求出場地面積的關鍵．