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設拋物線C:y2=4x,F為C的焦點,過F的直線L與C相交于A、B兩點.
(1)設L的斜率為2,求|AB|的大。
(2)求證:
OA
OB
是一個定值.
分析:(1)由題意可得直線L的方程,與拋物線方程聯立并消去y得到關于x的一元二次方程,利用根與系數的關系、弦長公式即可得出;
(2)設直線L的方程為x=ky+1,與拋物線方程聯立并消去x得到關于y的一元二次方程,利用根與系數的關系、數量積運算即可得出.
解答:解:(1)依題意得F(1,0),∴直線L的方程為y=2(x-1),
設直線L與拋物線的交點A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立
y=2(x-1)
y2=4x
消去y整理得x2-3x+1=0,
∴x1+x2=3,x1x2=1.
法一:|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
32-4•1
=5

法二:|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.
(2)證明:設直線L的方程為x=ky+1,
設直線L與拋物線的交點A(x1,y1),B(x2,y2),
x=ky+1
y2=4x
消去x整理得y2-4ky-4=0.
∴y1+y2=4k,y1y2=-4,
OA
OB
═(x1,y1)•(x2,y2
=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2
=-4k2+4k2+1-4=-3.
OA
OB
是一個定值為-3.
點評:熟練掌握直線與拋物線的相交問題轉化為與拋物線方程聯立得到一元二次方程、根與系數的關系、弦長公式數量積計算公式等是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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已知拋物線C:y2=4(x-1),橢圓C1的左焦點及左準線與拋物線C的焦點F和準線l分別重合.
(1)設B是橢圓C1短軸的一個端點,線段BF的中點為P,求點P的軌跡C2的方程;
(2)如果直線x+y=m與曲線C2相交于不同兩點M、N,求m的取值范圍.

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設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離是2.
(Ⅰ)求此拋物線方程;
(Ⅱ)設點A,B在此拋物線上,點F為此拋物線的焦點,且
FB
AF
,若λ∈[4,9],求直線AB在y軸上截距的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設拋物線C:y2=16x的焦點為F,過點Q(-4,0)的直線l與拋物線C相交于A,B兩點,若|QA|=2|QB|,則直線l的斜率k=
±
2
2
3
±
2
2
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•黃浦區二模)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經過點F的動直線l交拋物線C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,且y1y2=-4.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線2x+3y=0平分線段AB,求直線l的傾斜角.
(3)若點M是拋物線C的準線上的一點,直線MF,MA,MB的斜率分別為k0,k1,k2.求證:當k0=1時,k1+k2為定值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•黃浦區二模)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經過點F的動直線l交拋物線C于點A(x1,y1),B(x2,y2)且y1y2=-4.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若
OE
=2(
OA
+
OB
)
(O為坐標原點),且點E在拋物線C上,求直線l傾斜角;
(3)若點M是拋物線C的準線上的一點,直線MF,MA,MB的斜率分別為k0,k1,k2.求證:當k0為定值時,k1+k2也為定值.

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