Question

已知奇函數f(x)是定義在R上的增函數,數列{xn}是一個公差為2的等差數列,且滿足f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,則x2012的值為　　　　.

 

Answer 1

4005

【解析】設x8=a,則x9=a+2,x10=a+4,x11=a+6,

所以f(a)+f(a+2)+f(a+4)+f(a+6)=0,且f(a)<f(a+2)<f(a+4)<f(a+6),

所以f(a)<0且f(a+6)>0.

結合奇函數關于原點的對稱性可知,f(a)+f(a+6)=0,f(a+2)+f(a+4)=0,

所以f(a+3)=0=f(0),即a+3=0,所以x8=-3.

設數列{xn}通項xn=x1+2(n-1),所以x8=x1+14=-3,所以x1=-17.

故通項xn=2n-19.所以x2012=2×2012-19=4005.