Question

如圖，以AB為直徑的圓有一內接梯形ABCD，且AB∥CD．若雙曲線以A、B為焦點，且過C、D兩點，則當梯形的周長最大時，雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．1+

  2

• D．1+

  3

Answer 1

分析：設∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，則可表示出BC，EB，CD，進而可求得梯形的周長的表達式，根據二次函數的性質求得周長的最大值時θ的值，則AC和BC可求，根據雙曲線的定義求得雙曲線的長軸，即可求得雙曲線的離心率．

解答：解：設∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，則BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，
∴CD=2R-4Rsin²θ，
∴梯形的周長l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²θ=-4R（sinθ-

1

2

）²+5R．
當sinθ=

1

2

，即θ=30°時，l有最大值5R，
這時，BC=R，AC=

3

R，a=

1

2

（AC-BC）=

1

2

（

3

-1）R，
∴e=

c

a

=

3

+1．
故選D．

點評：本題主要考查了雙曲線的應用，雙曲線的定義，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題．