Question

已知函數(n∈N⁺)，且y=f(x)的圖象經過點(1，n²)，數列{a_n}(n∈N₊)為等差數列.(1)求數列{ a_n}的通項公式；

(2)當n為奇函數時，設,是否存在自然數m和M，使不等式m<<M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) a_n=2n-1    (2) M-m的最小值為2.

解析:

(1)據題意：f(1)=n²   即 

    令n=1 則a₀+a₁=1，a₁=1-a₀   令n=2 則a₀+a₁+a₂=2²，a₂=4-(a₀+a₁)=4-1=3

        令n=3 則a₀+a₁+a₂+a₃=3²，a₃=9-(a₀+a₁+a₂)=9-4=5 ∵{a_n}為等差數列

  ∴d=a₃-a₂=5-3=2      a₁=3-2=1   a₀=0    a_n=1+(n-1)·2=2n-1

       (2)由(1)

       n為奇數時，

  

相減得：

令，.

∴C_n+1≤C_n，C_n隨n增大而減小    又隨n增大而減小

∴g()為n的增函數，當n=1時，g()=

而    

∴使m<g()<M恒成立的自然m的最大值為0，M最小值為2.   M-m的最小值為2.