Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=-x²+2x．
（1）當x∈R時，求函數f（x）的表達式；
（2）求解不等式f（x）≤|x|．

Answer 1

分析：（1）設x＜0，變形得到-x＞0，根據x＞0時的解析式，結合函數的奇偶性，可求得x＜0時的函數解析式，然后運用奇函數的定義，可求得f（0）=0，即可求得函數在整個定義域上的解析式；
（2）對x進行分段討論，分別得到關于x的不等式，求解不等式的解集，最后取并集，即可求得不等式f（x）≤|x|的解集．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=-x²+2x，
∴f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x，
又f（x）是定義在R上的奇函數，則f（-x）=-f（x）且f（0）=0，
∴f（x）=-f（-x）=x²+2x，
∴當x＜0時，f（x）=x²+2x，
故當x∈R時，求函數f（x）的表達式為f(x)=

-x2+2x， x＞0 0， x=0 x2+2x，x＞0

；
（2）∵不等式f（x）≤|x|，
①當x＞0時，f（x）=-x²+2x，|x|=x，
∴不等式f（x）≤|x|，轉化為-x²+2x≤x，解得x≤0或x≥1，
∴x≥1；
②當x=0時，0≤0，
∴x=0；
③當x＜0時，f（x）=x²+2x，|x|=-x，
∴不等式f（x）≤|x|，轉化為x²+2x≤-x，解得-3≤x≤0，
∴-3≤x＜0．
綜合①②③，可得-3≤x≤0或x≥1，
故不等式f（x）≤|x|的解集為{x|-3≤x≤0或x≥1}．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，分段函數的解析式要分段去求，求解函數在某個區間內的解析式，可先在求解的區間內設出變量x，然后通過變形把變量轉化到已知解析式的區間內，再運用函數的奇偶性和周期性進行求解．本題還考查了解分段函數的不等式以及含有絕對值的不等式．屬于中檔題．