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已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-x2+2x.
(1)當x∈R時,求函數f(x)的表達式;
(2)求解不等式f(x)≤|x|.
分析:(1)設x<0,變形得到-x>0,根據x>0時的解析式,結合函數的奇偶性,可求得x<0時的函數解析式,然后運用奇函數的定義,可求得f(0)=0,即可求得函數在整個定義域上的解析式;
(2)對x進行分段討論,分別得到關于x的不等式,求解不等式的解集,最后取并集,即可求得不等式f(x)≤|x|的解集.
解答:解:(1)設x<0,則-x>0,
∵當x>0時,f(x)=-x2+2x,
∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又f(x)是定義在R上的奇函數,則f(-x)=-f(x)且f(0)=0,
∴f(x)=-f(-x)=x2+2x,
∴當x<0時,f(x)=x2+2x,
故當x∈R時,求函數f(x)的表達式為f(x)=
-x2+2x, x>0
0, x=0
x2+2x,x>0

(2)∵不等式f(x)≤|x|,
①當x>0時,f(x)=-x2+2x,|x|=x,
∴不等式f(x)≤|x|,轉化為-x2+2x≤x,解得x≤0或x≥1,
∴x≥1;
②當x=0時,0≤0,
∴x=0;
③當x<0時,f(x)=x2+2x,|x|=-x,
∴不等式f(x)≤|x|,轉化為x2+2x≤-x,解得-3≤x≤0,
∴-3≤x<0.
綜合①②③,可得-3≤x≤0或x≥1,
故不等式f(x)≤|x|的解集為{x|-3≤x≤0或x≥1}.
點評:本題考查了函數解析式的求解及常用方法,分段函數的解析式要分段去求,求解函數在某個區間內的解析式,可先在求解的區間內設出變量x,然后通過變形把變量轉化到已知解析式的區間內,再運用函數的奇偶性和周期性進行求解.本題還考查了解分段函數的不等式以及含有絕對值的不等式.屬于中檔題.
練習冊系列答案
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a+b
>0

(1)證明函數a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數;
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實數x=1的取值范圍.

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關系
a>b>c
a>b>c

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