Question

已知函數（，為自然對數的底數）.

（1）求函數的最小值；

（2）若≥0對任意的恒成立，求實數的值；

（3）在（2）的條件下，證明：

 

Answer 1

【答案】

（1）其最小值為（2）（3）由累加即可得證.

【解析】

試題分析：（1）由題意，

由得.

當時, ；當時，.

∴在單調遞減，在單調遞增.

即在處取得極小值，且為最小值，

其最小值為     

（2）對任意的恒成立，即在上，.

由（1），設，所以.

由得.

易知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

∴ 在處取得最大值，而.

因此的解為，∴.     

（3）由（2）知，對任意實數均有，即.

令 ，則.

∴ .

∴

   

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用；導數的運算．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，同時考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求導數，確定函數的單調性．