Question

一動圓經過點Q（0，

1

2

）且和直線2y+1=0相切，記其圓心的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程．
（2）是否存在正數t，對于過點T（0，t）且與曲線C有兩個交點R，S的任一直線，都有

QR

•

QS

＜0，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由：

Answer 1

分析：（1）設出圓心的坐標C（x，y），根據半徑的關系，動圓經過點Q（0，

1

2

）且和直線2y+1=0相切，C點與Q點的距離等于圓半徑的平方，而y-

1

2

也等于半徑的平方，故求出C的軌跡方程；
（2）設出點R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）設出直線y=kx+t，與曲線C的方程進行聯立，求出x₁+x₂，和x₁•x₂，根據向量的內積公式寫出

QR

•QS

表達式，讓其小于0，求出t的范圍；

解答：解：（1）設圓心C（x，y），半徑為r，
∵動圓經過點Q（0，

1

2

），∴（x-0）²+（y-

1

2

）²=r²；
∵圓和直線2y+1=0相切，
∴y+

1

2

=r，
∴（x-0）²+（y-

1

2

）²=（y+

1

2

）²，
∴曲線C的方程為：x²=2y；
（2）∵直線過點T（0，t）且與曲線C有兩個交點R，S，
∴可設y=kx+t，點R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），點Q（0，

1

2

）
∴

QR

•QS

=x₁x₂+y₁y₂-

1

2

（y₁+y₂），
聯立方程：

y=kx+t x2=2y

消去y得，
x²-2kx-2t=0，△=（-2k）²-4×（-2t）=4k²+8t＞0，
∴k²＞-2t，-k²＜2t，
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2t；
∴y₁+y₂=（kx₁+t）+（kx₂+t）=2k²+2t，
y₁y₂=（kx₁+t）•（kx₂+t）=k²x₁•x²+t²+kt（x₁+x₂）=t²，
∴

QR

•QS

=x₁x₂+y₁y₂-

1

2

（y₁+y₂）=-2t+t²-

1

2

×（2k²+2t²）=t²-3t-k²-t-

1

4

＜t²-3t+2t-

1

4

=t²-t-

1

4

=（t-1）²-

1

2

＜0，
∴1-

2

2

＜t＜1+

2

2

，滿足t＞0，
∴t的取值范圍：1-

2

2

＜t＜1+

2

2

；

點評：第一問考查軌跡方程，正好是拋物線，第二問是關于存在性問題，一般假設存在，然后進行求解，本題是關于圓錐曲線的問題，是高考的熱點問題，難度中等偏上；