Question

已知傾斜角為45°的直線l過點A（1，-2）和點B，B在第一象限，．
（1）求點B的坐標；
（2）若直線l與雙曲線（a＞0）相交于E、F兩點，且線段EF的中點坐標為（4，1），求a的值；
（3）對于平面上任一點P，當點Q在線段AB上運動時，稱|PQ|的最小值為P與線段AB的距離．已知點P在x軸上運動，寫出點P（t，0）到線段AB的距離h關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設直線AB方程為y=x-3，設點B（x，y），由及B在第一象限求解．
（2）先聯立直線方程與雙曲線方程，消元轉化為：，再由韋達定理求解．
（3）先設線段AB上任意一點Q坐標為Q（x，x-3），根據兩點間的距離公式建立二次函數模型，，
記（1≤t≤4），再根據對稱軸和區間的相對位置，分類討論求解．
解答：解：（1）直線AB方程為y=x-3，設點B（x，y），
由及x＞0，y＞0得x=4，y=1，點B的坐標為（4，1）．
（2）由得，
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則，得a=2．

（3）設線段AB上任意一點Q坐標為Q（x，x-3），，
記（1≤t≤4），
當時，即-1≤t≤5時，，
當，即t＞5時，f（x）在[1，4]上單調遞減，；
當，即t＜-1時，f（x）在[1，4]上單調遞增，．
綜上所述，
點評：本題主要考查直線與圓的位置關系，中點坐標公式及兩點間的距離公式，同時考查了建立函數模型求最值的能力．