Question

（2013•煙臺二模）已知橢圓M：：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞0）的一個焦點為F（-1，0），左右頂點分別為A，B．經過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）當直線l的傾斜角為45°時，求線段CD的長；
（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦點F坐標可求c值，根據a，b，c的平方關系可求得a值；
（Ⅱ）寫出直線方程，與橢圓方程聯立消掉y得關于x的一元二次方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得|CD|；
（Ⅲ）當直線l不存在斜率時可得，|S₁-S₂|=0；當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯立消y可得x的方程，根據韋達定理可用k表示x₁+x₂，x₁x₂，|S₁-S₂|可轉化為關于x₁，x₂的式子，進而變為關于k的表達式，再用基本不等式即可求得其最大值；

解答：解：（I）因為F（-1，0）為橢圓的焦點，所以c=1，又b²=3，
所以a²=4，所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為1，
所以直線方程為y=x+1，和橢圓方程聯立得到

x2 4 + y2 3 =1 y=x+1

，消掉y，得到7x²+8x-8=0，
所以△=288，x₁+x₂=-

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
所以|CD|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

24

7

；
（Ⅲ）當直線l無斜率時，直線方程為x=-1，
此時D（-1，

3

2

），C（-1，-

3

2

），△ABD，△ABC面積相等，|S₁-S₂|=0，
當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設直線方程為y=k（x+1）（k≠0），
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
和橢圓方程聯立得到

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

，消掉y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
顯然△＞0，方程有根，且x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
此時|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₂+1）+k（x₁+1）|
=2|k（x₂+x₁）+2k|=

12|k|

3+4k2

=

12

3 |k| +4|k|

≤

12

2 3 |k| ×4|k|

=

12

2 12

=

3

，（k=±

3

2

時等號成立）
所以|S₁-S₂|的最大值為

3

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓的標準方程的求解，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，難度較大．