Question

（2009•淄博一模）已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓，其離心率e=

2

2

，且經過拋物線x²=4y的焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過點B（2，0）的直線l與橢圓交于不同的亮點E、F（E在B、F之間）且

BE

=λ

BF

，試求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程，利用橢圓的離心率e=

2

2

，且經過拋物線x²=4y的焦點，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設直線l方程，與橢圓方程聯立消去x，根據判別式大于0，可得m的一個范圍，設出E，F的坐標，利用向量知識及韋達定理，即可求得實數λ的取值范圍．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓的離心率e=

2

2

，且經過拋物線x²=4y的焦點
∴

c

a

=

2

2

，b=1
∴a²=2
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由題意知l的斜率存在且不為零，
設l方程為x=my+2（m≠0）①，代入

x2

2

+y2=1，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，由△＞0得m²＞2．
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則
∵

BE

=λ

BF

，（x₁-2，y₁）=λ（x₂-2，y₂），
∴y₁=λy₂，
∵y1+y2=

-4m

m2+2

，y1y2=

2

m2+2

∴

(1+λ)2

λ

=

8m2

m2+2

=

8

1+ 2 m2

∵m²＞2，∴4＜

8

1+ 2 m2

＜8
∴4＜

(1+λ)2

λ

＜8
∵λ＞0
∴3-2

2

＜λ＜3+2

2

且λ≠1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查橢圓的標準方程，考查韋達定理的運用．應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化是解題的關鍵．