Question

已知函數(shù)f（x）=e^kx（k是不為零的實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若曲線y=f（x）與y=x²有公共點，且在它們的某一公共點處有共同的切線，求k的值；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求此時k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)切點坐標，再代入兩個解析式建立方程①，再由在切點處導(dǎo)數(shù)值相等列出方程②，聯(lián)立方程求解；
（2）由題意求出h（x）解析式，再求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)區(qū)間關(guān)系求出k的范圍，再對k分類：k＜-1時和0＜k＜1時，再由條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，分別列出等價條件，求出k的范圍，最后并在一起．
解答：解：（1）設(shè)曲線y=f（x）與y=x²有共同切線的公共點為P（x，y），
則          ①，
又∵y=f（x）與y=x²在點P（x，y）處有共同切線，
且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，
∴     ②，
由①②解得，．                   
（2）由f（x）=e^kx得，函數(shù)h（x）=（x²-2kx-2）e^kx，
∴（h（x））′=[kx²+（2-2k²）x-4k]e^kx
==．              
又由區(qū)間知，，
解得0＜k＜1，或k＜-1．             
①當0＜k＜1時，
由（h（x））'=，得，
即函數(shù)h（x）的單調(diào)減區(qū)間為，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
則有，解得．                                 
②當k＜-1時，
由（h（x））'=，得x＜2k或，
即函數(shù)h（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，2k）和，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
則有，或，
這兩個不等式組均無解．
綜上，當時，
函數(shù)h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想．