Question

在數列{a_n}中，a₁=2，且（n∈N*，且n≥2），設，
（Ⅰ）證明：數列{b_n}是等差數列，并求其通項公式；
（Ⅱ）記數列的前n項和為S_n，若對于任意的正整數n恒有m²-≤S_n，求實數m的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)證明：由（n∈N*，且n≥2），且，
故，即（n∈N*，且n≥2），
又，
所以數列{b_n}是首項b₁=2，公差d=1的等差數列，
其通項公式b_n=b₁+(n-1)d=2+n-1=n+1；
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，得b_n=n+1，即，故a_n=n(n+1) ，
∴，
故數列的前n項和為
，
由于隨著n的增大而增大，
故當n=1時，S_n取得最小值，
又對于任意的正整數n恒有，
故，即m²≤4，解得-2≤m≤2，
∴實數m的取值范圍為[-2，2]。