Question

已知，函數.
⑴若不等式對任意恒成立，求實數的最值范圍；
⑵若，且函數的定義域和值域均為，求實數的值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）根據題意，若不等式對任意恒成立，參編分離后即可得：，從而問題等價于求使對于任意恒成立的的范圍，而，當且僅當時，“=”成立，故實數的取值范圍是；（2）由題意可得為二次函數，其對稱軸為，因此當時，可得其值域應為，從而結合條件的定義域和值域都是可得關于的方程組，即可解得.
試題解析：（1）∵，∴可變形為：，而，當且僅當時，“=”成立，∴要使不等式對任意恒成立，只需，即實數的取值范圍是；                
（2）∵，∴其圖像對稱軸為，根據二次函數的圖像，可知在上單調遞減，∴當時，其值域為，又由的值域是，
∴.