Question

已知函數f(x)=sin(x+

7

4

π)+cos(x-

3

4

π)，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）已知cos(β-a)=

4

5

，cos(β+α)=-

4

5

，(0＜α＜β≤

π

2

)，求證：[f（β）]²-2=0．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；根據正弦函數的對稱中心即可確定出f（x）的對稱中心；
（2）已知等式利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，得到兩個關系式，相加得到cosαcosβ=0，根據α與β的范圍求出β的度數，進而確定出f（β）的值，代入等式左邊計算即可得證．

解答：解：（1）f（x）=sinxcos

7π

4

+cosxsin

7π

4

+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

sinx-

2

cosx=2sin（x-

π

4

），
∵ω=1，∴T=2π，
由x-

π

4

=kπ，k∈Z，得：x=kπ+

π

4

，k∈Z，
則f（x）的最小正周期為2π，對稱中心為（kπ+

π

4

，0）（k∈Z）；
（2）cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

，①；cos（β+α）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

4

5

，②，
①+②得：cosαcosβ=0，
∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴cosβ=0，即β=

π

2

，
∴f（β）=

2

，
則[f（β）]²=2，即[f（β）]²-2=0．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數公式，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．