Question

左焦點為F的雙曲線的右支上存在點A，使得直線FA與圓x²+y²=a²相切，則雙曲線C的離心率取值范圍是________．

Answer 1

分析：利用直線FA與圓x²+y²=a²相切，可求得切線的斜率為，再分析出切線AF的斜率小于漸進(jìn)線y=x的斜率，即可求得雙曲線C的離心率取值范圍．
解答：設(shè)直線FA的方程為：y=k（x+c），∵直線FA與x²+y²=a²相切，
∴a=，
∴a²+a²k²=c²k²，
∴b²k²=a²，又k＞0，
∴k=，
∵切線與右支有交點A，則切線AF的斜率小于漸進(jìn)線y=x的斜率，
即＜，
∴a²＜b²，又b²=c²-a²，
∴c²＞2a²．
∴e²=＞2，
∴e＞．
點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，分析出切線AF的斜率小于漸進(jìn)線y=x的斜率是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．