Question

已知雙曲線

x2

8

-

y2

4

=1的左焦點為F，△ABC的三個頂點均在其左支上，若

FA

+

FE

+

FC

=

0

，則|

FA

|+|

FE

|+|

FC

|=

 

．

Answer 1

分析：求出焦點坐標和左準線方程，根據F 為△ABC的重心，可得x₁+x₂+x₃=-6

3

，由雙曲線的第二定義可得
|

FA

|+|

FE

|+|

FC

|=e[（-

a2

c

-x1 ）+（-

a2

c

-x2 ）+（-

a2

c

-x3）]，由此求得結果．

解答：解：由題意可得 F（-2

3

，0），左準線為 x=-

4

3

，e=

3

2

，設△ABC的三個頂點的坐標分別為
（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃ ）．∵

FA

+

FB

+

FC

=0，∴F 為△ABC的重心，
∴

-2 3 =  x1+x2+x3 3 0= y1+y2+y3 3

，∴x₁+x₂+x₃=-6

3

，由雙曲線的第二定義可得
|

FA

|+|

FE

|+|

FC

|=e[（-

a2

c

-x1 ）+（-

a2

c

-x2 ）+（-

a2

c

-x3）]=

3

2

[-

12

3

-（x₁+x₂+x₃）]
=2

3

，
故答案為：2

3

．

點評：本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，得到|

FA

|+|

FE

|+|

FC

|=
e[（-

a2

c

-x1 ）+（-

a2

c

-x2 ）+（-

a2

c

-x3）]，是解題的關鍵．