Question

已知函數f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b．
（Ⅰ）設兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同，若a＞0，試建立b 關于a的函數關系式，并求b的最大值；
（Ⅱ）若b∈[0，2]，h（x）=f（x）+g（x）-（2a-b）x在（0，4）上為單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設公共點（x₀，y₀），根據題意得到，f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b關于a的函數關系式，然后利用導數研究b關于a的函數的單調性，從而求出b的最大值；
（II）要使h（x）在（0，4）上單調，須h′（x）≤0或h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，①當h′（x）≤0時，x+

3a2

x

≤b，根據b∈[0，2]，只需x+

3a2

x

≤0而x∈（0，4）則a不存在，②當h′（x）≥0時x+

3a2

x

≥b，而b∈[0，2]，只需x+

3a2

x

≥2即3a²≥x（2-x）恒成立，根據x∈（0，4）可求出不等式右邊的最大值，建立不等式解之即可求出a的取值范圍．

解答：解：（I）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

．
由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即

1 2 x 2 0 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
b（a）=

5a2

2

-3a²lna（a＞0）
b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）
b'（a）＞0?

a＞0 1-3lna＞0

?0＜a＜e

1

3

b'（a）＜0?

a＞0 1-3lna＜0

?a＞e

1

3

可見b（a）_max=b（e

1

3

）=

3

2

e

1

3

（II）h（x）=

1

2

x²+3a²lnx-bx，h′（x）=x+

3a2

x

-b
要使h（x）在（0，4）上單調，須h′（x）≤0或h′（x）≥0在（0，4）上恒成立．
①當h′（x）≤0時，x+

3a2

x

-b≤0∴x+

3a2

x

≤b
∵b∈[0，2]，只需x+

3a2

x

≤0∵x∈（0，4）∴a不存在
②當h′（x）≥0時，x+

3a2

x

-b≥0∴x+

3a2

x

≥b
∵b∈[0，2]，只需x+

3a2

x

≥2
∴3a²≥x（2-x）恒成立
∵x∈（0，4）∴3a²≥1解得：a≥

3

3

或a≤-

3

3

．
綜上，所求a的取值范圍為a≥

3

3

或a≤-

3

3

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程和恒成立問題，以及利用導數研究函數的單調性和最值，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．