Question

家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層臭氧層．臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關(guān)系式Q=Q0e-

t

400

，其中Q₀是臭氧的初始量．
（1）隨時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？
（2）多少年以后將會有一半的臭氧消失？

Answer 1

分析：（1）本題中的函數(shù)關(guān)系是一個指數(shù)型函數(shù)模型，由于其指數(shù)為負數(shù)，初值為正數(shù)，由指數(shù)型函數(shù)的特征知其是一個減函數(shù)．
（2）知函數(shù)值變成了原來的一半求自變量，將函數(shù)值代入得到關(guān)于自變量的方程，解指數(shù)方程求年數(shù)，本方程在求解時因為未知數(shù)在指數(shù)上，故應(yīng)采取兩邊取對數(shù)的方法將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一次方程求x的值．

解答：解：（1）∵Q₀＞0，-

t

400

＜0，e＞1，∴Q=Q0e-

t

400

為減函數(shù)．（3分）
∴隨時間的增加，臭氧的含量是減少．（6分）
（2）設(shè)x年以后將會有一半的臭氧消失，則Q0e-

x

400

=

1

2

Q0，
即e-

x

400

=

1

2

，（8分）
兩邊取自然對數(shù)得，-

x

400

=ln

1

2

，（10分）
解得x=400ln2≈278．（11分）
∴278年以后將會有一半的臭氧消失．（12分）

點評：本題考查指數(shù)型函數(shù)，利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及解指數(shù)型方程，解此類方程時一般是用兩邊取對數(shù)的方法把指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程或者是一元二次方程求值．