Question

如圖，平行四邊形AMBN的周長為8，點M，N的坐標分別為(-

3

 ， 0) ， (

3

 ， 0)．
（Ⅰ）求點A，B所在的曲線方程；
（Ⅱ）過點C（-2，0）的直線l與（Ⅰ）中曲線交于點D，與Y軸交于點E，且l∥OA，求證：

| CD • CE |

| OA |2

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由平行四邊形對邊相等，知|AM|+|AN|=|BM|+|BN|=4，由橢圓的定義，知點A，B所在的曲線是橢圓；且2a=4，c=

3

，所以橢圓的方程可求；
（Ⅱ）如圖，設過點C的直線l方程為：y=k（x+2），與橢圓方程組成方程組，得交點D的坐標，直線l與Y軸相交，得點E的坐標，從而得向量

CD

，

CE

的坐標表示；又OA∥l，可設OA的方程為：y=kx，與橢圓方程組成方程組，得交點A的坐標，從而得

OA

的坐標表示，代入

|  CD • CE |

| OA |2

計算即可．

解答：解：（Ⅰ）因為四邊形AMBN是平行四邊形，周長為8，
所以兩點A，B到M，N的距離之和均為4，可知所求曲線為橢圓；
由橢圓定義可知，a=2，c=

3

，b=1；
所求曲線方程為：

x2

4

+y2=1（y≠0）；
（Ⅱ）由已知，直線l的斜率存在，又直線l過點C（-2，0），
設直線l的方程為：y=k（x+2），
代入曲線方程

x2

4

+y2=1(y≠0)，并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0；
點C（-2，0）在曲線上，所以D（

-8k2+2

1+4k2

，

4k

1+4k2

）；
E（0，2k），

CD

=(

4

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，

CE

=(2，2k)；
因為OA∥l，所以設OA的方程為：y=kx；
代入曲線方程，并整理，得：（1+4k²）x²=4；
所以，A(±

2

1+4k2

，±

2k

1+4k2

)；則

| CD • CE |

| OA |2

=

8 1+4k2 + 8k2 1+4k2

4 1+4k2 + 4k2 1+4k2

=2
所以，

| CD • CE |

| OA |2

為定值．

點評：本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓知識的綜合應用，以及向量在解析幾何中的應用；借助于圖形能幫助我們解決問題．