Question

已知平面向量

a

=(cosφ，sinφ)，

b

=(cosx，sinx)，

c

=(sinφ，-cosφ)，其中0＜φ＜π，且函數f(x)=(

a

•

b

)cosx+(

b

•

c

)sinx的圖象過點(

π

6

，1)．
（1）求φ的值；
（2）將函數y=f（x）圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據兩個向量數量積的坐標公式求出

a

•

b

以及

b

•

c

，再代入f（x）求出f（x）的表達式；根據圖象過點(

π

6

，1)即可求出φ的值；
（2）根據函數圖象的變換規律求出函數y=g（x）的表達式，再根據變量的范圍結合函數的單調性即可求出函數y=g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x)…（1分）

b

•

c

=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(x-φ)…（2分）
∴f（x）=（

a

•

b

)cosx+(

b

•

c

)sinx=cos（φ-x）cosx+sin（φ-x）sinx
=cos（φ-x-x）=cos（2x-φ），…（4分）
即f（x）=cos（2x-φ）
∴f（

π

6

)=cos(

π

3

-φ）=1，
而0＜φ＜π，
∴φ=

π

3

．                            …（6分）
（2）由（1）得，f（x）=cos（2x-

π

3

），
于是g（x）=cos（2（

1

2

x)-

π

3

），
即g（x）=cos（x-

π

3

）．                  …（9分）
當x∈[0，

π

2

]時，-

π

3

≤x-

π

3

≤

π

6

，
所以

1

2

≤cos(x-

π

3

）≤1，…（11分）
即當x=0時，g（x）取得最小值

1

2

，
當x=

π

3

時，g（x）取得最大值1．            …（12分）

點評：本題主要考查三角函數的平移以及向量的數量積．三角函數的平移原則為左加右減上加下減．