Question

已知：x＞-1，證明：ln（x+1）≤x．

Answer 1

分析：令f（x）=x-ln（x+1），根據 它的導數的符號可得函數f（x）的單調性，再根據函數的單調性求得函數f（x）取得最小值為0，即f（x）≥0，從而證得不等式．

解答：解：令f（x）=x-ln（x+1），則它的導數為 f′（x）=1-

1

1+x

．
當0＞x＞-1時，f′（x）＜0，故函數f（x）在（-1，0）上是減函數．
當x≥0時，f′（x）≥0，當且僅當x=0時，f′（x）=0，故函數f（x）在[0，+∞）上是增函數．
故當x=0時，函數f（x）取得最小值為0，
故有f（x）=x-ln（x+1）≥0，∴ln（x+1）≤x．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，根據函數的單調性求函數的最值，體現了轉化的數學思想，屬于
中檔題．