Question

已知兩定點，，滿足條件=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．如果且曲線E上存在點C，使求m的值和△ABC的面積S．

Answer 1

【答案】分析：先判斷曲線E形狀，求出曲線E的方程，直線AB方程代入，利用判別式及根與系數關系求出直線AB斜率范圍，利用弦長公式求出斜率k的值，得到直線AB方程．設出點C的坐標，依據條件用m表示點C的坐標，再代入曲線E的方程求得m值，點C到直線AB的距離為高，計算三角形面積．
解答：解：由雙曲線的定義可知，
曲線E是以為焦點的雙曲線的左支，
且，易知b=1
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組
消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直線與雙曲線左支交于兩點A，B，
有
解得
又∵
=
=
=
依題意得
整理后得28k⁴-55k²+25=0
∴或但
∴
故直線AB的方程為
設C（x_c，y_c），由已知，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c）
∴，（m≠0）
又，
∴點C（，）
將點C的坐標代入曲線E的方程，得
得m=±4，但當m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意
∴m=4，C點的坐標為C到AB的距離為
∴△ABC的面積．
點評：本題主要考查雙曲線的定義和性質、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力．