Question

已知f（x）是奇函數，且當x＜0時，f（x）=x²+3x+2，若當x∈[1，3]時，n≤f（x）≤m恒成立，則m-n的最小值為

9

4

．

Answer 1

分析：先在區間[-1，-3]，研究二次函數f（x）=x²+3x+2，得到它的最小值為f（-

3

2

）=-

1

4

，最大值為f（-3）=2，然后根據f（x）是奇函數，得到當x∈[1，3]時，-2≤f(x)≤

1

4

，從而區間[-2，

1

4

]⊆[n，m]，得到m-n的最小值為

9

4

．

解答：解：∵當x＜0時，f（x）=x²+3x+2，，
∴當x∈[-1，-3]時，在[-3，-

3

2

]上，函數為減函數，在[-

3

2

，-1]上為增函數
可得f（x）在[-1，-3]上的最小值為f（-

3

2

）=(-

3

2

) 2 -

3

2

•3+2=-

1

4

最大值為f（-3）=（-3）²-3×3+2=2
∴當x∈[-1，-3]時，-

1

4

≤f(x)≤2
又∵y=f（x）是奇函數，
∴當1≤x≤3，時-f（x）=f（-x）∈[-

1

4

，2]
即-2≤f(x)≤

1

4

∵當x∈[1，3]時，n≤f（x）≤m恒成立
∴區間[-2，

1

4

]⊆[n，m]⇒m-n≥

1

4

-(-2)=

9

4

故答案為：

9

4

點評：本題以基本初等函數為載體，考查了函數的奇偶性、二次函數在閉區間上的最值和函數恒成立問題等知識點，屬于中檔題．