Question

為改善行人過馬路難的問題，市政府決定在如圖所示的矩形區域ABCD（AB=60米，AD=104米）內修建一座過街天橋，天橋的高GM與HN均為米，，AE，EG，HF，FC的造價均為每米1萬元，GH的造價為每米2萬元，設MN與AB所成的角為α（α∈[0，]），天橋的總造價（由AE，EG，GH，HF，FC五段構成，GM與HN忽略不計）為W萬元．
（1）試用α表示GH的長；
（2）求W關于α的函數關系式；
（3）求W的最小值及相應的角α．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定MP的值，再在Rt△NMT中，即可用α表示GH的長；
（2）利用AE，EG，HF，FC的造價均為每米1萬元，GH的造價為每米2萬元，即可求出W關于α的函數關系式；
（3）求導函數，確定函數的單調性，即可求出W的最小值及相應的角α．
解答：解：（1）由題意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，…（6分）
（2）=
=．…（11分）
（3）設（其中，
則．
令f'（α）=0得1-2sinα=0，即，得．
列表

α
f'（α）	+		-
f（α）	單調遞增	極大值	單調遞減

所以當時有，此時有．
答：排管的最小費用為萬元，相應的角．…（16分）
點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．