Question

為改善行人過馬路難的問題，市政府決定在如圖所示的矩形區域ABCD（AB=60米，AD=104米）內修建一座過街天橋，天橋的高GM與HN均為4

3

米，∠GEM=∠HFN=

π

6

，AE，EG，HF，FC的造價均為每米1萬元，GH的造價為每米2萬元，設MN與AB所成的角為α（α∈[0，

π

4

]），天橋的總造價（由AE，EG，GH，HF，FC五段構成，GM與HN忽略不計）為W萬元．
（1）試用α表示GH的長；
（2）求W關于α的函數關系式；
（3）求W的最小值及相應的角α．

Answer 1

分析：（1）先確定MP的值，再在Rt△NMT中，即可用α表示GH的長；
（2）利用AE，EG，HF，FC的造價均為每米1萬元，GH的造價為每米2萬元，即可求出W關于α的函數關系式；
（3）求導函數，確定函數的單調性，即可求出W的最小值及相應的角α．

解答：解：（1）由題意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，GH=MN=

60

cosα

…（6分）
（2）W=(80+16

3

-60tanα)×1+

60

cosα

×2=80+16

3

-60

sinα

cosα

+120

1

cosα

=80+16

3

-60

sinα-2

cosα

．…（11分）
（3）設f(α)=

sinα-2

cosα

（其中0 ≤ α ≤ 

π

4

)，
則f′(α)=

cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)

cos2α

=

1-2sinα

cos2α

．
令f'（α）=0得1-2sinα=0，即sinα=

1

2

，得α=

π

6

．
列表

α	(0， π 6 )	π 6	( π 6 ， π 4 )
f'（α）	+	0	-
f（α）	單調遞增	極大值	單調遞減

所以當α=

π

6

時有f(α)max=-

3

，此時有Wmin=80+16

3

+60

3

=80+76

3

．
答：排管的最小費用為80+76

3

萬元，相應的角α=

π

6

．…（16分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．