Question

已知函數(shù)．
（1）求證：時(shí)，恒成立；
（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（1）詳見試題解析；（2）時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間．

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)求函數(shù)極值的一般步驟，先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，解的方程，得可能的極值點(diǎn)，進(jìn)一步得函數(shù)的單調(diào)性，最后得的最小值，從而證得恒成立；（2）當(dāng)時(shí)，先求的導(dǎo)數(shù)：，根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，分子為，故只需分，，幾種情況，分別求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，，令，解得：．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴．
所以，， ．                            5分
（2）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f7/8/1m1cf4.png" style="vertical-align:middle;" />，．
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，．令，解得：．
ⅰ）當(dāng)時(shí)，，令，解得：．令，解得：或，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
ⅱ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
綜上，時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間．