Question

(本題滿分15分) 已知直線l₁：x＝my與拋物線C：y²＝4x交于O (坐標原點)，A兩點，直線l₂：x＝my＋m 與拋物線C交于B，D兩點．

(Ⅰ) 若 | BD | ＝ 2 | OA |，求實數m的值；

(Ⅱ) 過A，B，D分別作y軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，D₁．記S₁，S₂分別為三角形OAA₁和四邊形BB₁D₁D的面積，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

(Ⅰ) m＝

(Ⅱ) 的取值范圍是(0，1)∪(1，＋∞)

【解析】(Ⅰ) 解: 設B(x₁，y₁)， D(x₂，y₂)，

由 得

，

由Δ，得或，

且y₁＋y₂＝4m， y₁y₂＝－4m．

又由 得

y²－4my＝0，

所以y＝0或4m．[來源:學&科&網]

故A (4m²，4m)．

由 | BD |＝2 | OA |，得

(1＋m²)(y₁－y₂)²＝4 (16m⁴＋16m²)，

而 (y₁－y₂)²＝16m²＋16m，

故m＝．        ………………………… 6分

(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得

x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)＋2m＝4m²＋2m．

 所以＝ 

＝

＝

＝．

令＝t，

因為或，

所以－1＜t＜0或t＞0．

故 ＝，

所以 0＜＜1 或 ＞1，

即 0＜＜1 或 ＞1．

所以，的取值范圍是(0，1)∪(1，＋∞)．　　………………………15分