Question

如圖，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，過一面對角線AB₁且與另一面對角線BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一邊A₁C₁于點D．

(1)確定D點的位置，并證明你的結論；

(2)證明平面AB₁D⊥平面AA₁D；

(3)若AB＝6，AA₁＝4，求直線BC₁與平面AB₁D的距離；

(4)若AB∶A₁A＝k，問是否存在實數k，使平面AB₁D與平面AB₁A₁所成角的大小為45°？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)證明：如圖，將正三棱柱ABC－A₁B₁C₁補成直平行六面體ABCE－A₁B₁C₁E₁，從而有AE₁∥BC₁．

　　∴BC₁∥面AB₁E₁．

　　∴面AB₁E₁為所求平行平面，此時面AB₁E₁與A₁C₁交于點D．

　　又A₁B₁C₁E₁為平行四邊形，∴D為A₁C₁中點．

　　(2)證明：連結AD，由直平行六面體定義知：AA₁⊥面A₁B₁C₁E₁，

　　∴AA₁⊥B₁D．

　　又A₁B₁C₁E₁為菱形，∴B₁D⊥A₁C₁．∴B₁D⊥面AA₁D．

　　又B₁D面AB₁D，∴面AB₁D⊥面AA₁D．

　　(3)解法一：∵BC₁∥平面AB₁D，

　　∴只需求C₁到平面AB₁D的距離．

　　又A₁D＝DC₁，故只需求A₁到面AB₁D的距離即可．

　　由(2)知面AB₁D⊥面AA₁D，

　　所以過A₁作A₁M⊥AD，則A₁M⊥平面AB₁D．

　　∴A₁M為所求．

　　由A₁D·AA₁＝A₁M·AD，得A₁M＝．

　　解法二：由，

　　得，

　　∴，即C₁到平面AB₁D的距離為．

　　(4)如圖，過點D作DG⊥A₁B₁于點G，則DG⊥面A₁B₁BA．

　　過G作GH⊥AB₁于點H，連結DH，則DH⊥AB₁，

　　∴∠DHG為A₁－AB₁－D的平面角．

　　若∠DHG＝45°，設AA₁＝a，則AB＝ka，DG＝ka．

　　∵AA₁∶AB₁＝GH∶GB₁，

　　∴GH＝，GH＝DG＝．

　　∴k＝．

　　∴存在k＝，使平面AB₁D與平面AB₁A₁所成角的大小為45

　　解析：(1)線面平行，轉化為線線平行，故可通過補形進行平移；(2)要證面面垂直，需證線面垂直；(3)要求線面距離可通過線面平行轉化為點面距離；(4)對探索性問題，不妨假設存在，然后求解或推理論證．