Question

已知{a_n}是公差為2的等差數列，且a₃+1是a_l+1與a₇+1的等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

an-1

2n

(n∈N*)，求數列的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是公差為2的等差數列，a₃+1是a_l+1與a₇+1的等比中項，知(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)，解得a₁=3，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由bn=

an-1

2n

=

2n+1-1

2n

=

n

2n-1

，知Tn=

1

20

+

2

21

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，由此利用錯位相減法能夠求出數列的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵{a_n}是公差為2的等差數列，
∴a₃=a₁+4，a₇=a₁+12，
∵且a₃+1是a_l+1與a₇+1的等比中項，
∴（a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），
∴(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)，
解得a₁=3，
∴a_n=3+2（n-1），
∴a_n=2n+1．
（2）bn=

an-1

2n

=

2n+1-1

2n

=

n

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

2

21

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，①
∴

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，②
①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

，
∴Tn=4-

2n+4

2n

．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意錯位相減法的合理運用．