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已知在△ABC中,A、B、C成等差數列,
(1)證明:2
BA
BC
=b2-(a-c)2
(2)∠ACB=40°,點E在AC上,且EC=AB,求∠CBE的大小.
考點:正弦定理,平面向量數量積的運算
專題:解三角形
分析:(1)由A,B,C成等差數列,利用等差數列的性質及內角和定理求出B的度數,左式利用平面向量的數量積運算法則計算,右式整理后利用余弦定理化簡,即可得證;
(2)在三角形ABC中,利用正弦定理列出關系式,設∠CBE=θ,在三角形BCE中,利用正弦定理列出關系式,根據EC=AB,整理即可求出∠CBE的大小.
解答: (1)證明:∵△ABC中,A,B,C成等差數列,
∴2B=A+C,即B=
π
3

∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
1
2
,即a2+c2-b2=ac,
左式=2accosB=ac,右式=b2-a2+2ac-c2=-ac+2ac=ac,
∴左式=右式,
則2
BA
BC
=b2-(a-c)2
(2)解:在△ABC中,由正弦定理得:
BC
sin80°
=
AB
sin40°

設∠CBE=θ,在△BCE中,由正弦定理得:
CE
sinθ
=
BC
sin(θ+40°)

∵CE=AB,∴sinθsin80°=sin40°sin(θ+40°),即-
1
2
[cos(θ+80°)-cos(θ-80°)]=-
1
2
[cos(θ+80°)-cosθ],
整理得:sin(θ-40°)=0,
則θ=40°.
點評:此題考查了正弦定理,余弦定理,以及平面向量的數量積運算,熟練掌握定理是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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設函數f(x)=
2
x
 
1+
2
x
 
-
1
2
,[x]表示不超過x的最大整數,則函數y=[f(x))]的值域集合
 

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A、
1
3
B、
1
2
C、
2
5
D、
3
5

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3+i
1-i
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C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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lnx
x
-1

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n+1
n
e
n+1
n
都成立(其中e為自然對數的底數)

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