Question

已知橢圓:的左焦點為,且過點.

(1)求橢圓的方程;

(2)設過點P(-2,0)的直線與橢圓E交于A、B兩點，且滿足.

①若,求的值;

②若M、N分別為橢圓E的左、右頂點，證明:

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2)參考解析

【解析】

試題分析：(1)因為由橢圓:的左焦點為,即.由點到兩焦點的距離和可求出橢圓的長軸.從而可以求出橢圓的方程.

(2)（1）通過假設直線的方程聯立橢圓方程消去y可得一個一元二次方程，由韋達定理即可求出直線的斜率k的值，從而解出A,B兩點的坐標，即可得結論.（2）分別求兩直線的斜率和，利用韋達定理得到的關系式即可證明斜率和為零.即可得到結論.

試題解析：(1)因為焦點為， C=1，又橢圓過，

取橢圓的右焦點，，由得，

所以橢圓E的方程為

（2）①設,,

顯然直線斜率存在,設直線方程為

由得:

得,,

,,

,符合,由對稱性不妨設,

解得,

②若,則直線的方程為,

將代入得, 不滿足題意,同理

,,

考點：1.橢圓的性質.2.直線與橢圓的位置關系.3.韋達定理.4.幾何問題構建代數方法解決.