Question

已知△ABC中，C是以AB為直徑圓上一點，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面SBC；
（Ⅱ）已知，求三棱錐S-ABC外接球體積V_球．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵C是以為AB直徑圓上一點，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又SA⊥平面ABC，BC在平面ABC內，∴SA⊥BC．
又SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC，
又AD在平面SAC上，∴BC⊥AD．
又SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥平面SBC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知△ABC、△SAB均為Rt△，且∠SAB=∠ACB=90°．
取SB中點M，連接AM、CM，則．
所以SB為三棱錐S-ABC外接球直徑；
又
所以AB²=AC²+BC²=27，SB²=SA²+AB²=36．
三棱錐S-ABC外接球半徑為．
故三棱錐S-ABC外接球體積．
分析：（Ⅰ）要證明AD⊥平面SBC，因為AD⊥SC，只需證明AD⊥BC，進而轉化為證明BC⊥平面SAC即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC、△SAB均為Rt△，且∠SAB=∠ACB=90°，取SB中點M，易知M點即為三棱錐S-ABC外接球的球心，SB為外接球的直徑，通過解直角三角形即可求得；
點評：本題考查直線與平面垂直的判定、球的體積求解，考查學生的推理論證能力，屬中檔題．