Question

(本小題滿分12分)已知拋物線方程為

（1）若點在拋物線上，求拋物線的焦點的坐標和準線的方程；

（2）在（1）的條件下，若過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點，點在拋物線的準線上，直線、、的斜率分別記為、、，

求證：、、成等差數列；

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的焦點坐標為，準線的方程為；（2）證明：見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據（2，2在拋物線y²=2px（p＞0）上，可得p=2，從而可求拋物線的焦點坐標與準線l的方程；

（Ⅱ）過焦點F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為y=（x-1）與拋物線方程聯立，可得點A、B的坐標，設點M的坐標為M（-1，t），即可證得k_MA、k_MF、k_MB成等差數列．

解：（1）   ∵在拋物線上，  由   得……………2分

∴拋物線的焦點坐標為，          ……………3分

準線的方程為                ……………4分

（2）證明：∵拋物線的方程為，

∴過焦點且傾斜角為的直線的方程為…………5分

由可得 

解得點A、B的坐標為，……………7分

∵拋物線的準線方程為，設點M的坐標為，……………8分

則，，，…………9分

由……………11分

知、、成等差數列。               ……………12分

考點：本試題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合應用能力，涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．

點評：解決該試題的關鍵是熟練利用拋物線的性質，得到其方程，同時結合設而不求的思想，來表示出點的坐標關系式，結合斜率給弄個是得到證明。