Question

【題目】已知函數， ，其中， .

（1）當時，求在點處切線的方程；

（2）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）記，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據導數的幾何意義，求出切線斜率，即可寫出切線；（2）根據單調遞增可知函數導數在上大于等于零恒成立，分離參數即可求出a的取值范圍；（3）寫出，求導數，利用導數求其最小值即可證明.

試題解析：

（1）解：當時， ，

∴，此時切點為，

∴的方程為．

（2）解：∵，函數在區間上單調遞增，

∴在區間上恒成立，

∴在上恒成立，則，

令，則，當時， ，

∴，

∴．

（3）證明：∵，∴，則，

∴，

令，

則，

令，則，

顯然在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，則，

∴，則．