Question

（理科）設橢圓的右焦點為F₁，直線與x軸交于點A，若（其中O為坐標原點）
（1）求橢圓M的方程；
（2）設點P是橢圓M上的任意一點，線段EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定A，F₁的坐標，利用建立方程，從而可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用向量的數量積運算，將求的最大值轉化為求的最大值，利用配方法可求．
解答：解：（1）由題設知，，F₁（）
∵，∴
∴a²=6
∴橢圓M的方程為；
（2）∵圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為點N
∴===
從而將求的最大值轉化為求的最大值
P是橢圓M上的任一點，設P（x，y），則有，即x²=6-3y²，
又N（0，2），∴=x²+（y-2）²=-2（y+1）²+12
∵，∴當y=-1時，取最大值12
∴的最大值為11．
點評：本題以向量為載體，考查橢圓的標準方程，考查向量的數量積，考查配方法求函數的最值，綜合性強，屬于中檔題