Question

設函數f（x）=-x³+2x²-x（x∈R）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數在f（x）區間[0，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（I）根據導數的幾何意義求出函數在x=2處的導數，從而得到切線的斜率，再利用點斜式方程寫出切線方程即可．
（II）求導函數，確定函數的單調性，可得函數的極值與端點函數值比較，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）因為 f（x）=-x³+2x²-x，
所以 f'（x）=-3x²+4x-1，且f（2）=-2．…（2分）
所以 f'（2）=-5．                …（3分）
所以 曲線f（x）在點（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．          …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1）．
令f'（x）=0，解得x=

1

3

或x=1．  …（6分）
當x∈[0，2]時，f'（x），f（x）變化情況如下表：

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		-	0	+	0	-
f（x）	0	↘	- 4 27	↗	0	↘	-2

因此，函數f（x），x∈[0，2]的最大值為0，最小值為-2．…（8分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，考查函數的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．