Question

已知函數y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）要使f（x）在（0，2）上單調遞增，試求a的取值范圍；
（2）當a＜0時，若函數滿足y_極大值=1，y_極小值=-3，試求函數y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）要使f（x）在（0，2）上單調遞增，則f'（x）≥0在（0，2）上恒成立，由此可求得a的取值范圍；
（2）令f′（x）=-3x²+2ax=0，求得極大值點與極小值點，結合足y_極大值=1，y_極小值=-3，可求得a，b的值，從而求得函數y=f（x）的解析式．

解答：解：（1）f'（x）=-3x²+2ax，要使f（x）在（0，2）上單調遞增，
則f'（x）≥0在（0，2）上恒成立．
即

f′(0)=0≥0 f′(2)=-12+4a≥0

，
∴a≥3．
（2）令f′（x）=-3x²+2ax=0，得x₁=0，x₂=

2

3

a．
∵a＜0，
∴y_極大值=f（0）=b=1，
y_極小值=f（

2

3

a）=-

8

27

a³+

4

9

a³+1=-3，
∴a=-3，
∴f（x）=-x³-3x²+1．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，著重考查二次函數在區間上的恒成立問題與導數單調性與極值之間的關系，屬于中檔題．