Question

14、已知（1+2x）ⁿ的展開式中，所有項的系數之和等于81，那么這個展開式中x³的系數是

32

．

Answer 1

分析：令x=1可得，其展開式中所有項的系數之和為3ⁿ，根據題意，有3ⁿ=81，解可得n的值，進而可得其二項展開式的通項，分析可得，將r=3代入通項可得答案．

解答：解：令x=1可得，其展開式中所有項的系數之和為3ⁿ，
根據題意，有3ⁿ=81，解可得，n=4，
則其二項展開式的通項為T_r+1=C₄^r•（2x）^r，
當r=3時，T₄=C₄³•（2x）³=32，
故答案為32．

點評：本題考查二項式系數的性質，要牢記展開式中中各項的系數和與二項系數和的不同意義與各自的求法．