Question

設m，n∈N，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ，
（1）當m=n=7時，若f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀求a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）當m=n時，若f（x）展開式中x²的系數是20，求n的值．
（3）f（x）展開式中x的系數是19，當m，n變化時，求x²系數的最小值．

Answer 1

（1）本題可以應用賦值法：分別令x=1，x=-1，
2⁸=a₇+a₆+a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀
0=-a₇+a₆-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀
兩個式子相加得a₀+a₂+a₄+a₆=128…（4分）
（2）∵當m=n時，f（x）展開式中x²的系數是20，
∴T₃=2C_n²x²=20x²，
∴n=5…（8分）
（3）當m+n=19，
x²的系數為：

C

2m

+

C

2n

=

1

2

m(m-1)+

1

2

n(n-1)
=

1

2

[(m+n)2-2mn-(m+n)]=171-mn=171-(19-n)n=(n-

19

2

)2+

323

4

∴當n=10或n=9時，f（x）展開式中x²的系數最小為81．…（12分）