Question

已知=（c，0）（c＞0），=（n，n）（n∈R），||的最小值為1，若動點P同時滿足下列三個條件：
①||=||（a＞c＞0）；
②=λ （其中=（，t），λ≠0，t∈R）；
③動點P的軌跡C經過點B（0，-1）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求曲線C的方程；
（Ⅲ）是否存在方向向量為a=（1，k）（k≠0）的直線l，使l與曲線C交于兩個不同的點M、N，且||=||？若存在，求出k的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）：由向量模的公式得出||==，利用二次函數的性質得出其最小值，從而求得c值．
（Ⅱ）先根據條件得到：||=||（a＞c＞0）．從而得出點P在以F為焦點，x=為準線的橢圓上，從而=|-x|，最后將點B（0-1）代入，解得a即可寫出曲線C的方程；
（Ⅲ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在方向向量為a=（1，k）（k≠0）的直線l滿足條件，則可設l：y=kx+m（k≠0），再利用△ABC為正三角形，求出CD的長，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
假設存在方向向量為a=（1，k）（k≠0）的直線l滿足條件，則可設l：y=kx+m（k≠0），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系結合垂直關系即可求得k的范圍，從而解決問題．
解答：解：（Ⅰ）：||==，
當n=時，||_min==1，所以c=．（3分）
（Ⅱ）∵=λ （λ≠0），∴PE⊥直線x=，又||=||（a＞c＞0）．
∴點P在以F為焦點，x=為準線的橢圓上．（5分）
設P（x，y），則有=|-x|，點B（0-1）代入，解得a=．
∴曲線C的方程為 +y²=1                                       （7分）
（Ⅲ）假設存在方向向量為a=（1，k）（k≠0）的直線l滿足條件，則可設l：y=kx+m（k≠0），
與橢圓+y²=1聯立，消去y得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．（10分）
由判別式△＞0，可得m²＜3k²+1．①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點P（x，y），由|BM|=|BN|，則有BP⊥MN．
由韋達定理代入k_BP=-，可得到m=               ②
聯立①②，可得到  k²-1＜0，（12分）
∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k1．
即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l與曲線C交于兩個不同的點M、N，且||=||．（14分）z
點評：本小題主要考查向量在幾何中的應用、直線與圓錐曲線的綜合問題，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．