Question

已知定義在（0，+∞）上的函數f(x)=

1

2

x2+2ax ，  g(x)=3a2lnx+b，其中a＞0，設兩曲線有公共點P（x₀，y₀），且在點P（x₀，y₀）處的切線是同一條直線．
（1）若a=1，求P（x₀，y₀）及b的值；
（2）用a來表示b，并求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x），g（x）的導數，求出兩個導函數在x₀的值即點p處的切線斜率，求出b的值．
（2）利用f（x），g（x）在x₀處的導數值相等，得到關于a，b的等式，分離出b，求出b的導數，令導數為0求出根，判斷根左右兩邊的符號求出極值，即最值．

解答：解：（1）若a=1時，f(x)=

1

2

x2+2x，  g(x)=3lnx+b
分別求導數：f′(x)=x+2，  g′(x)=

3

x

…（2分）
∵在P（x₀，y₀）的切線是同一條直線．
∴f′(x0)=x0+2，  g′(x0)=

3

x0

，且x0+2=

3

x0

，解得：x₀=-3或1--（4分）
∵定義在（0，+∞）上，
∴x₀=-3舍去，將x₀=1代入f(x)=

1

2

x2+2x得y0=

5

2

…（6分）
∴公共點P(1，

5

2

)，…（7分）
代入g（x）=3lnx+b∴b=

5

2

…（8分）
（2）分別求導數：f′(x)=x+2a，g′(x)=

3a2

x

…（10分）
在P（x₀，y₀）的切線是同一條直線．
∴x0+2a=

3a2

x0

，即x₀=-3a或a，其中x₀=-3a舍去…（12分）
∴x₀=a而f（x₀）=g（x₀）得到：b=

5

2

a2-3a2lna（ a＞0）…（13分）
令b=h(t)=

5

2

t2-3t2lnt（t＞0）
∴h'（t）=2t-6tlnt
令h'（t）=2t-6tlnt=0，解得t=e

1

3

…（14分）
當h'（t）＞0時，t∈(0，e

1

3

)
當h'（t）＜0時，t∈(e

1

3

，+∞)…（15分）
∴當t=e

1

3

時h（t）取到最大值，即bmax=

5

2

e

2

3

-3e

2

3

lne

1

3

=

3

2

e

2

3

----（16分）

點評：本題考查曲線在切點處的導數值是曲線的切線斜率；求函數的極值，先求出導數，令導數為0，注意一定判斷根左右兩邊的符號．