Question

記數列{a_n}的前n項和為S_n，若{

Sn

an

}是公差為d的等差數列，則{a_n}為等差數列時d=

1或

1

2

．

Answer 1

分析：由{

Sn

an

}是

S1

a1

=1為首項，d為公差的等差數列，知S_n=a_n+（n-1）da_n，故S_n-1=a_n-1+（n-2）da_n-1．所以a_n=a_n+（n-1）da_n-a_n-1-（n-2）da_n-1，整理可得（n-1）da_n-（n-1）da_n-1=（1-d）a_n-1，由此入手，能夠求出d．

解答：解：∵{

Sn

an

}是

S1

a1

=1為首項，d為公差的等差數列，
∴

Sn

an

=1+（n-1）d，
∴S_n=a_n+（n-1）da_n，①
S_n-1=a_n-1+（n-2）da_n-1．②
①-②得：
a_n=a_n+（n-1）da_n-a_n-1-（n-2）da_n-1，
整理可得
（n-1）da_n-（n-1）da_n-1=（1-d）a_n-1，
假設d=0，那么

Sn

an

=1，
S₁=a₁，S₂=a₁+a₂=a₂，
∴a₁=0，∵a₁為除數，不能為0，∴d≠0．
在此假設a_n的公差為d′，
所以有d′=

(1-d)an-1

(n-1)d

，
當d=1時，d′=0，a_n是以a₁為首項，0為公差的等差數列．
當d≠1時，a_n-1=（n-1）

d•d′

1-d

，
a_n-a_n-1=

d•d′

1-d

=d′，
∴d=

1

2

，
此時，a_n是以d′為首項，d′為公差的等差數列．
綜上所述，d=1，或d=

1

2

．
故答案為：1或

1

2

．

點評：本題考查等差數列的性質和應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大．解題時要認真審題，仔細解答．