Question

某射手每次射擊擊中目標的概率是

2

3

，且各次射擊的結果互不影響．
（Ⅰ）假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率
（Ⅱ）假設這名射手射擊5次，求有3次連續擊中目標．另外2次未擊中目標的概率；
（Ⅲ）假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記ξ為射手射擊3次后的總的分數，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（I）由題意知每次射擊擊中目標的概率是

2

3

，且各次射擊的結果互不影響，設X為射手在5次射擊中擊中目標的次數，則X～B(5，

2

3

)．利用二項分布的概率公式得到結果，
（II）有3次連續擊中目標．另外2次未擊中目標包括三種情況，即連續的三次射擊在第一位，在第二位，在第三位，這三種情況是互斥的，根據獨立重復試驗和互斥事件的概率公式得到結果．
（III）ξ為射手射擊3次后的總的分數，由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，6，結合變量對應的事件，寫出變量的概率，寫出分布列．

解答：解：（1）每次射擊擊中目標的概率是

2

3

，且各次射擊的結果互不影響
設X為射手在5次射擊中擊中目標的次數，則X～B(5，

2

3

)．
在5次射擊中，恰有2次擊中目標的概率P(X=2)=C52×(

2

3

)2×(1-

2

3

)3=

40

243

（Ⅱ）設“第i次射擊擊中目標”為事件A_i（i=1，2，3，4，5）；
“射手在5次射擊中，有3次連續擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A，則P(A)=P(A1A2A3

.

A4

.

A5

)+P(

.

A1

A2A3A4

.

A5

)+P(

.

A1

.

A2

A3A4A5)
=(

2

3

)3×(

1

3

)2+

1

3

×(

2

3

)3×

1

3

+(

1

3

)2×(

2

3

)3
=

8

81

（Ⅲ）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，6
P(ζ=0)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=(

1

3

)3=

1

27

P(ζ=1)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A

.

_A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=

2

3

×(

1

3

)2+

1

3

×

2

3

×

1

3

+(

1

3

)2×

2

3

=

2

9

P(ζ=2)=P(A1

.

A2

A3)=

2

3

×

1

3

×

2

3

=

4

27

P(ζ=3)=P(A1A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2A3)=(

2

3

)2×

1

3

+

1

3

×(

1

3

)2=

8

27

P（ζ=6）=P（A₁A₂A₃）=(

2

3

)3=

8

27

∴ξ的分布列是

點評：本題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．