Question

某射手每次射擊擊中目標的概率是

2

3

，且各次射擊的結果互不影響；
（1）假設這名射手射擊3次，求恰有兩次擊中目標的概率；
（2）假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分．在3次射擊中，若有2次連續擊中，而另外一次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加2分．記ξ為射手射擊3次后的總得分，求ξ的分布列及其數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，可得這名射手射擊3次，求恰有兩次擊中目標的概率

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

，運算求得結果．
（2）由題意可得，得分ξ=0，1，2，3，5，再分別求得ξ取每一個值的概率，即可求得恰有兩次擊中目標的概率，再根據得分ξ的數學期望的定義，求得ξ的數學期望．

解答：解：（1）根據射手每次射擊擊中目標的概率是

2

3

，且各次射擊的結果互不影響，故這名射手射擊3次，求恰有兩次擊中目標的概率

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

=

4

9

．
（2）由題意可得若3次都沒有擊中，則得分ξ=0分．若3次射擊只有一次擊中，則得分ξ=1分．若3次射擊只有2次擊中，且這兩次射擊不連續，則得分ξ=2分．
若3次射擊有2次連續擊中，而另外一次未擊中，則額外加1分，此時得分ξ=3分．
若3次全擊中，則額外加2分，此時得分ξ=5分．
故ξ的分布列為  P(ξ=0)=

1

27

，P(ξ=1)=

C

2 3

(

1

3

)2•

2

3

=

2

9

，P（ξ=2）=

2

3

×

1

3

×

2

3

=

4

27

，P（ξ=3）=

2

3

×

2

3

×

1

3

+

1

3

×

2

3

×

2

3

=

8

27

，
P（ξ=5）=(

2

3

)3=

8

27

．
∴得分ξ的數學期望為Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

27

+3×

8

27

+5×

8

27

=

26

9

．

點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，離散型隨機變量的數學期望的求法，屬于中檔題．