Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁；
（1）求證：平面B₁AC⊥平面B₁BDD₁；
（2）求二面角B₁-AC-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）令AC與BD的交點為O，連接B₁O，由正方體的幾何特征及等腰三角形“三線合一”的性質，可得B₁O⊥AC，AC⊥BD，結合線面垂直的判定定理可得BD⊥平面B₁AC，進而由面面垂直的判定定理可得平面B₁AC⊥平面B₁BDD₁；
（2）作B₁E⊥AC交AC于E點，連接BE．可得B₁-AC-B的二面角的平面角是∠B₁EB，解三角形B₁EB，即可求出二面角B₁-AC-B的正切值．

解答：證明：（1）令AC與BD的交點為O，連接B₁O，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁A=B₁C，O為AC的中點
則B₁O⊥AC，又由AC⊥BD，B₁O∩BD=O
∴BD⊥平面B₁AC，
又∵BD?平面B₁BDD₁
∴平面B₁AC⊥平面B₁BDD₁；
解：（2）作B₁E⊥AC交AC于E點，連接BE．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體
∴AB₁=AC=B₁C，即ACB₁為等邊三角形．
∴E點為AC的中點，
∴BE⊥AC
∴B₁-AC-B的二面角的平面角是∠B₁EB
∴tan∠B₁EB=

BB1

BE

=

2

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，（1）的關鍵是結合正方體的幾何特征，得到BD⊥平面B₁AC，（2）的關鍵是確定B₁-AC-B的二面角的平面角是∠B₁EB．