Question

已知O為坐標原點，點A的坐標為（4，2），P為線段OA的垂直平分線上一點，若∠OPA為銳角，則點P的橫坐標x的取值范圍是

（-∞，1）∪（3，+∞）

．

Answer 1

分析：先根據條件求出直線OA，PE的方程，得到點P的坐標，再根據∠OPA為銳角對應的

OP

•

AP

＞0即可求出點P的橫坐標x的取值范圍．

解答：解：因為O為坐標原點，點A的坐標為（4，2）AO的中點E（2，1）
所以：L_OA：y=

1

2

x
L_PE：y-1=-2（x-2），即y=-2x+5．
設P（x，-2x+5）．
若∠OPA為銳角，則

OP

•

AP

=（x，-2x+5）•（x-4，-2x+3）＞0⇒x²-4x+3＞0⇒x＞3或x＜-1．
故答案為：（-∞，-1）∪（3，+∞）．

點評：本題主要考查數量積表示兩個向量的夾角．如果已知向量的坐標，求向量的夾角，我們可以分別求出兩個向量的坐標，進一步求出兩個向量的模及他們的數量積，然后代入公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

即可求解．