Question

設(shè)f(θ)=2cos2θ+

3

sin2θ，θ∈(0，

π

4

)；
（1）求f（θ）的值域；
（2）若y=x+

a

x

（x＞0），試問(wèn)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，y≥f（θ）恒成立？

Answer 1

分析：（1）通過(guò)二倍角的三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到f(θ)=2sin(2θ+

π

6

)，最后根據(jù)θ∈（0，

π

4

），可以得出函數(shù)f（θ）的值域．
（2）由（1）得f（θ）_max=3，從而x+

a

x

≥3，在（0，+∞）恒成立等價(jià)于a≥x（3-x）在（0，+∞）恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）f(θ)=2sin(2θ+

π

6

)+1；

&0＜θ＜ π 4

⇒& π 6 ＜2θ+ π 6 ＜ 2π 3

⇒f（θ）∈（2，3]
∴f（θ）的值域：（2，3]．
（2）∵f（θ）_max=3，
∴x+

a

x

≥3，在（0，+∞）恒成立
a≥x（3-x）在（0，+∞）恒成立，
∵x(3-x)=-x2+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

≤

9

4

，
x=

3

2

∈(0，+∞)時(shí)取等號(hào)
∴只要a≥

9

4

即可．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了三角函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．準(zhǔn)確運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)公式結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．