Question

（本題滿分14分）

如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點．一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點．

（1）若，求的值；（5分）

（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（5分）

（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由．（4分）

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）的橫坐標為，即點是線段的中點

（3）略

【解析】解：（1）設直線的方程為，

將該方程代入得．

令，，則．

因為，解得，

或（舍去）．故．

   （2）由題意知，直線的斜率為．

又的導數為，所以點處切線的斜率為，

因此，為該拋物線的切線．

   （3）（2）的逆命題成立，證明如下：

設．

若為該拋物線的切線，則，

又直線的斜率為，所以，

得，因，有．

故點的橫坐標為，即點是線段的中點．