Question

【題目】設函數f（x）= ，若f（x）的值域為R，是實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【解析】解：函數f（x）= ， 當x＞2時，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上為增函數，f（x）∈（4+a，+∞）；
當x≤2時，f（x）=x+a2 ， 在（﹣∞，2]上為增函數，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；
若f（x）的值域為R，則（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，
則2+a2≥4+a，
即a2﹣a﹣2≥0
解得a≤﹣1，或a≥2，
則實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
所以答案是：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．